Cette ths̈e s'inscrit dans le domaine de la thǒrie des opřateurs et plus pariculir̈ement autour de deux notions assez rčentes appelěs image numřique, spectre ťendu et transformation d'Aluthge des opřateurs linǎires bornš dans un espace de Hilbert H.
Nous pršentons quelques ršultats sur les relations possibles entre le spectre ťendu de AB et BA en dimension finie, et ses consq̌uences sous la forme de plusieurs corollaires. De plus, grće c̉ette relation, nous avons pu trouver le spectre ťendu de la transformation d'Aluthge.
Aussi nous prouvons quelques ǧalitš entre le spectre ťendu de la transformation d'Aluthge et la transformation de Duggal d'un opřateur T en dimension infinie.
D'autre part, nous montrons que la norme (?,?) est q̌uivalente au rayon numřique, et l̉a norme usuelle de l'opřateur. Nous ťudions ǧalement les conditions d'ǧalit p̌our ces bornes. Nous obtenons ensuite des bornes supřieures et infřieures pour la norme (?,?) des opřateurs linǎires bornš, et nous appliquons les ršultats pour obtenir des bornes pour le rayon numřique des opřateurs linǎires bornš.
Dans la dernir̈e partie, nous donnons quelques exemples o n̮ous calculons l'image numřique, le rayon numřique, la transformation d'Aluthge et le spectre ťendu de quelques opřateurs, aussi nous appliquons quelques thǒrm̈es de nos ršultats.