Etude et comparaison des solutions approximatives decertains systèmes dynamiques différentiels perturbés

Ršum :̌
Notre travail est consacr ľ̉'ťude de plusieurs aspects des solutions d'un important modl̈e utile dans les systm̈es dynamiques turbulents, l'q̌uation de Van Der Pol. Dans un premier temps, nous avons pršent ťoutes les caractřistiques et concepts de base utilisš dans notre ťude. Ensuite, nous prouvons les solutions analytiques approchěs de l'q̌uation de Van Der Pol dans sa forme gňřale par di?řentes mťhodes de perturbation : mťhode de perturbation simple, mťhode de Lindstedt-Poincar ět Averaging method puis nous les comparons entre elles et avec la solution exacte.
Nous avons ťudi ľes systm̈es de Van Der Pol en ordre fractal dans leur forme gňřale, nous les avons modľisš et simulš l̉'aide du logiciel Matlab, et analys ňos ršultats. En?n, nous avons pršent ǔn autre aspect de l'ťude de ce type d'q̌uations, o n̮ous avons prouv ľes conditions d'existence, de singularit ět de stabilit ǎsymptotique des solutions přiodiques ủn ensemble in?ni d'q̌uations di?řentielles non linǎires, ce qui s̉on tour facilite au chercheur de les prendre et de les utiliser sur tous q̌uations possibles directement et rapidement.
Abstract
Our work is devoted to studying several aspects of the solutions of an important useful model in turbulent dynamical systems, the Van Der Pol equation. At ?rst we introduced all the basic characteristics and concepts used in our study.
Then, we prove the approximate analytical solutions of the Van Der Pol equation in its general form by di?erent perturbation methods: simple perturbation method (SPM), Lindstedt-Poincar m̌ethod (PLM) and Averaging method (AM) and then compare them with each other and with the exact solution.
We studied Van Der Pol systems in fractal order in their general form, we modeled and simulated them using Matlab software, and analyzed our results.
Finally, we presented another aspect of studying this type of equations, where we proved the conditions of existence, singularity and asymptotic stability of periodic solutions to an in?nite set of nonlinear di?erential equations, which in turn facilitates the researcher to take and use them on all possible equation directly and quickly.